کتاب یکتا حسابان دوازدهم [12] رشادت مبتکران

کتاب حسابان دوازدهم یکتا (رشته ریاضی فیزیک)، از مجموعه کتاب‌های رشادت اثر مجتبی سعیدی، رضا عابدی و علی محمدیوسف می‌باشد که در انتشارات مبتکران به چاپ رسیده است.

این کتاب با هدف آمادگی دانش‌آموزان برای کسب نتیجه مطلوب در امتحان نهایی و کنکور، منطبق با محتوای کتاب درسی نگاشته شده است. در همین راستا برای هر یک از 5 فصل کتاب، درس‌نامه‌های کامل و جامعی وجود دارد که با بیانی روشن و علمی به تشریح مباحث و نکات مهم می‌پردازند. به منظور یادگیری بهتر و اصولی‌تر در خلال بیان درس، از مثال‌های متفاوت تستی و تشریحی بهره برده که با شرح و بسط پاسخ‌ها و تحلیل هر یک، راهبردهای حل مسئله و نکات کلیدی را می‌آموزد. هم‌چنین جهت موفقیت دانش‌آموز در امتحانات نهایی، مثال‌هایی مشابه با مهم‌ترین سؤالات کتاب درسی در درس‌نامه‌ها تبیین شده‌اند. در انتهای هر فصل، تست‌هایی گنجانده شده‌که به اذعان مؤلف تعداد آنها در تمام کتاب به بیش از 1000 عدد می‌رسد. این بخش شامل تست‌های تألیفی و کنکورهای سراسری و آزاد در سال‌های قبل می‌باشد که با انجام آنها می‌توان آمادگی مناسب برای آزمون‌های آزمایشی و سراسری را به دست آورد. گفتنی است روند منطقی چینش سؤالات از آسان به دشوار، عاملی در افزایش توانایی دانش‌آموز برای پاسخ‌گویی می‌باشد. پس از بخش سؤالات، پاسخ‌نامه تشریحی گنجانده شده تا منبع مناسبی در بررسی درستی یا نادرستی جواب‌های ارائه شده باشد. ضمن اینکه برخی نکات کلیدی و تستی نیز در این بخش بیان شده است؛ به همین منظور مطالعه دقیق این بخش‌ها نیز مفید خواهد بود.

 

برشی از متن کتاب

مسائل بهینه‌سازی در مسائل بهینه‌سازی ماکزیمم و مینیمم مطلق یک عبارت را تحت شرایط اولیه پیدا می‌کنیم. در این گونه مسائل با توجه به فرضیات مسئله ابتدا متغیر اضافه را حذف کرده و سپس تابع مورد بحث را برحسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم و با توجه به مبحث اکسترمم مطلق، به تعیین آن تابع می‌پردازیم. مثال 8. عدد 20 را به دو قسمت چنان تقسیم کنید که حاصل‌ضرب آن‌ها ماکزیمم شود. حل : روش اول: فرض کنید دو قسمت x و y باشد که x + y = 20 می‌باشد. تابع حاصل‌ضرب xy می‌باشد که با توجه به فرض مسئله y = 20 - x می‌باشد، پس: P = xy = x (20 - x) = 20 x - x2 حال برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع از عبارت p مشتق می‌گیریم: P' = 20 - 2x = 0 → x = 10 → y = 20 - 10 = 10 پس مقدارmax  حاصل‌ضرب برابر است با: P max = xy = 10 × 10 = 100 روش دوم: نکته: اگر جمع چند پارامتر مقدار ثابتی باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که همه پارامترها با هم برابر باشند. از آنجا که x + y = 20 می‌باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که x = y = 20. پس: P max = xy = 102 = 100 نکته: اگر ضرب چند متغیر نامنفی مقداری ثابت باشد، حاصل جمع آنها وقتی مینیمم است که همه با هم برابر باشند. تست 10. اگر مساحت مستطیلی برابر 20 باشد، مینیمم مقدار محیط آن کدام است؟ 1)                    2)   2              3) 4                     4)   پاسخ: گزینه 3 روش اول: فرض کنید ضلع‌های مستطیل x و y است. پس x × y = 20. پس تابع محیط را بر حسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم: P = 2 (x + y) → p = 2 x + P' = 2 -   = 0 → 2x2 = 40 → x2 = 20 → x =   → y =   = P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4 روش دوم: طبق نکته فوق، حاصل ضرب دو مقدار x و y ثابت است (xy = 20) پس جمع آنها وقتی مینیمم است که x = y =   پس مینیمم مقدار محیط مستطیل برابر است با: P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4 مثال 9. استوانه قائمی در کره‌ای به شعاع 4 محاط شده است. مقدار ارتفاع استوانه چقدر باشد تا حجم استوانه ماکزیمم شود؟ حل: ابتدا تابع حجم استوانه را می‌نویسیم:  V = πr2h حال باید یکی از پارامترهای مسئله حذف شود که با استفاده از رابطه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه، داریم: ( )2 + r2 = 42 r2 = 16 - پس تابع حجم استوانه بر حسب h به صورت زیر می‌باشد: V = πr2h = π (16 -  ) h = π (16h -  ) برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع، ریشه مشتق آن را تعیین می‌کنیم: V' = π (16 -  ) = 0 →   = 16 → h2 =   → h =     مسائل بهینه‌سازی در مسائل بهینه‌سازی ماکزیمم و مینیمم مطلق یک عبارت را تحت شرایط اولیه پیدا می‌کنیم. در این گونه مسائل با توجه به فرضیات مسئله ابتدا متغیر اضافه را حذف کرده و سپس تابع مورد بحث را برحسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم و با توجه به مبحث اکسترمم مطلق، به تعیین آن تابع می‌پردازیم. مثال 8. عدد 20 را به دو قسمت چنان تقسیم کنید که حاصل‌ضرب آن‌ها ماکزیمم شود. حل : روش اول: فرض کنید دو قسمت x و y باشد که x + y = 20 می‌باشد. تابع حاصل‌ضرب xy می‌باشد که با توجه به فرض مسئله y = 20 - x می‌باشد، پس: P = xy = x (20 - x) = 20 x - x2 حال برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع از عبارت p مشتق می‌گیریم: P' = 20 - 2x = 0 → x = 10 → y = 20 - 10 = 10 پس مقدارmax  حاصل‌ضرب برابر است با: P max = xy = 10 × 10 = 100 روش دوم: نکته: اگر جمع چند پارامتر مقدار ثابتی باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که همه پارامترها با هم برابر باشند. از آنجا که x + y = 20 می‌باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که x = y = 20. پس: P max = xy = 102 = 100 نکته: اگر ضرب چند متغیر نامنفی مقداری ثابت باشد، حاصل جمع آنها وقتی مینیمم است که همه با هم برابر باشند. تست 10. اگر مساحت مستطیلی برابر 20 باشد، مینیمم مقدار محیط آن کدام است؟ 1)                    2)   2              3) 4                     4)   پاسخ: گزینه 3 روش اول: فرض کنید ضلع‌های مستطیل x و y است. پس x × y = 20. پس تابع محیط را بر حسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم: P = 2 (x + y) → p = 2 x + P' = 2 -   = 0 → 2x2 = 40 → x2 = 20 → x =   → y =   = P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4 روش دوم: طبق نکته فوق، حاصل ضرب دو مقدار x و y ثابت است (xy = 20) پس جمع آنها وقتی مینیمم است که x = y =   پس مینیمم مقدار محیط مستطیل برابر است با: P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4 مثال 9. استوانه قائمی در کره‌ای به شعاع 4 محاط شده است. مقدار ارتفاع استوانه چقدر باشد تا حجم استوانه ماکزیمم شود؟ حل: ابتدا تابع حجم استوانه را می‌نویسیم:  V = πr2h حال باید یکی از پارامترهای مسئله حذف شود که با استفاده از رابطه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه، داریم: ( )2 + r2 = 42 r2 = 16 - پس تابع حجم استوانه بر حسب h به صورت زیر می‌باشد: V = πr2h = π (16 -  ) h = π (16h -  ) برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع، ریشه مشتق آن را تعیین می‌کنیم: V' = π (16 -  ) = 0 →   = 16 → h2 =   → h =

فهرست

1. تابع
2. مثلثات
3. حد‌های متناهی - حد در بی‌نهایت
4. مشتق
5. کاربردهای مشتق

• نویسندگان: مجتبی سعیدی - رضا عابدی - علی محمد یوسف
• ناشر: مبتکران